在RS中，引入两个概念：一个是下近似集，另一个是上近似集。下近似集是指当一个集合不能利用有效的等价关系被恰当的分类是时，则可通过另外的集合来达到这个集合的近似。形式上，设X⊆U是任一子集，R是U上的等价关系，则下近似：R(X)=U{Y∈U/R,Y⊆X}，上近近似集 (X)=U{Y∈U/R,Y∩X≠∅}，Y是U上按等价关系R作成的等价类。其实下近似集可以被理解为所有那些被包含在X里面的等价关系的并集，上近似集被理解为那些与X有交的等价关系的并集，。因此可以写成以下的等价形式：R(X)={

x∈U,[x]R⊆U}，上近近似集 (X)={x∈U,[x]R∩X≠∅}。

    集合bnR(x)= (X)-R(x),称为X的R边界线，PosR（X）=R(X)称为X的R正域；negR（X）=U-（x）称为X的R负域，显然，（X）=PosR（X）U bnR(x)

如下图：

看下面例题：

如下表（一个决策表）所示，对于属性子集（等价关系）P=｛头疼，肌肉痛｝，请判断论域的一个自己合X=｛e2,e3,e5｝是否为P的粗糙集。若不是，请说明理由；若是，请求出X的P-下近似集，上近似集，边界域，正域和负域

论域	条件属性			决策属性d
	头痛	肌肉痛	体温
e1	是	是	正常	否
e2	是	是	高	是
e3	是	是	很高	是
e4	否	是	正常	否
e5	否	否	高	否
e6	否	是	很高	是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解：首先求出论域U的所有P-基本集（商集） 

      U/IND（p）=｛｛e1,e2,e3｝,{e4,e6},{e5}｝

     所以P的基本集为：｛e1,e2,e3｝,{e4,e6},{e5}，基本集与集合x的的关系如下

     x∩｛e1,e2,e3｝=｛e2,e3｝≠∅     x∩｛e4，e6｝=∅     x∩｛e5｝=｛e5｝≠∅    

    根据定义可得  X的P-下近似集R(x)=｛e5｝    X的P-上近似集(x)={e1,e2,e3,e5}   x的p-边界域bnR(x)= (X)-R(x)=｛e1,e2,e3｝

                        x的p-正域PosR（X）=R(X)=｛e5｝    x的p-负域negR（X）=U-（x）=｛e4,e6｝

     因为R(X)≠(x),所以x=｛e2,e3,e5｝是P的粗糙集。